Simulacro extra (con cálculos)

Preguntas propias

Estas preguntas no son del banco oficial: las armé a partir de los ejemplos numéricos de las slides para practicar el tipo de cálculo que suele aparecer. Cada una trae su explicación.

Simulacro · parte A (conceptual)

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1. ¿Cuál de estos hiperparámetros, al aumentar, hace el modelo más complejo?

a) λ en ridgeb) α en poda por costo-complejidadc) C en SVM de margen suaved) min_samples_leaf en un árbol

2. LDA y la regresión logística pueden producir la misma forma $\sigma(\mathbf{w}^\top\mathbf{x}+b)$. ¿Cuál es la diferencia?

a) LDA no es linealb) LDA la deriva suponiendo gaussianas con Σ compartida; la logística la ajusta directamente maximizando $P(y\mid\mathbf{x})$c) La logística es generativad) No hay diferencia en ningún caso

3. ¿Qué modelo NO necesita estandarizar las features?

a) SVM con RBFb) Regresión logística entrenada con GDc) Árbol de decisiónd) Kernel ridge

4. Minimizar el error cuadrático equivale a MLE con ruido gaussiano. Minimizar la cross-entropy equivale a MLE con…

a) ruido de Laplaceb) etiquetas Bernoullic) prior uniformed) ruido uniforme

5. Un SVM RBF tiene 98% de sus puntos como vectores de soporte y accuracy de entrenamiento 100%. Lo más probable es que…

a) γ es muy pequeñob) γ es muy grande (overfit)c) el modelo es óptimod) C es infinito y los datos son separables

6. En la vista «pérdida + penalización», ¿qué par es correcto?

a) SVM: log-loss + L1b) Ridge: hinge + L2c) SVM: hinge + L2d) Lasso: log-loss + L2

7. La feature que un árbol usa en la raíz…

a) siempre es la más importante (MDI)b) no necesariamente es la más importante; importa la suma ponderada de gananciasc) nunca vuelve a usarsed) tiene importancia 1

8. ¿Qué afirmación sobre el teorema del representante es correcta?

a) el óptimo vive en el espacio generado por los datos de entrenamientob) solo vale para SVMc) requiere construir φd) implica que $K$ es diagonal

Simulacro · parte B (cálculo)

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1. Con $\mathbf{X}^\top\mathbf{X} = \begin{bmatrix}2&0\\0&8\end{bmatrix}$ y $\mathbf{X}^\top\mathbf{y} = (4, 8)$, la solución OLS es…

a) $(2, 1)$b) $(8, 64)$c) $(0.5, 1)$d) $(4, 8)$

2. Con los mismos datos y ridge $\lambda = 2$ (penalizando ambos pesos), la solución es…

a) $(2, 1)$b) $(1, 0.8)$c) $(1, 1)$d) $(0.5, 0.5)$

3. Test: sensibilidad 90%, falsas alarmas 5%, prevalencia 2%. $P(\text{enfermo}\mid+)\approx$

a) 90%b) 27%c) 2%d) 95%

4. TP = 30, FP = 70, FN = 10, TN = 890. El F1 es…

a) 0.43b) 0.75c) 0.30d) 0.92

5. LDA en 1-D con $\mu_0 = 1$, $\mu_1 = 5$, $\sigma^2 = 1$, priors iguales. La frontera es…

a) $x^* = 3$b) $x^* = 5$c) $x^* = 2.5$d) no existe

6. Frontera $\mathbf{w} = (3, 4)$, $b = -5$. La distancia con signo del punto $(3, 4)$ es…

a) 20b) 4c) 5d) −1

7. En forma canónica con $\mathbf{w} = (3, 4)$, el ancho de la banda es…

a) 0.4b) 10c) 2.5d) 0.2

8. $\mathbf{x} = (1, 1)$, $\mathbf{z} = (2, -1)$. $K(\mathbf{x},\mathbf{z}) = (1+\mathbf{x}^\top\mathbf{z})^2$ vale…

a) 1b) 4c) 9d) 0

9. Nodo $[4, 4]$ partido en $[4, 1]$ y $[0, 3]$. La ganancia de Gini es…

a) 0.2b) 0.3c) 0.5d) 0

10. Un subárbol con $R(T_m) = 0.05$ y 3 hojas; colapsado en un nodo con $R(m) = 0.25$. Su precio de equilibrio $g(m)$ es…

a) 0.1b) 0.2c) 0.067d) 0.3

Problemas de desarrollo

1 · Dual del SVM a mano

Puntos $\mathbf{x}_1 = (1,0)$, $y_1 = +1$; $\mathbf{x}_2 = (-1,0)$, $y_2 = -1$. Escribe el dual, resuélvelo y recupera $\mathbf{w}$, $b$ y el margen.

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$\sum\alpha_iy_i = 0 \Rightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha$. Productos: $\mathbf{x}_1^\top\mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_2^\top\mathbf{x}_2 = 1$, $\mathbf{x}_1^\top\mathbf{x}_2 = -1$.

$W(\alpha) = 2\alpha - \tfrac12\big(\alpha^2 + \alpha^2 + 2\alpha^2\big) = 2\alpha - 2\alpha^2$. $W' = 2-4\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 0.5$, $W = 0.5$.

$\mathbf{w} = 0.5(1,0) - 0.5(-1,0) = (1,0)$; $b = y_1 - \mathbf{w}^\top\mathbf{x}_1 = 0$. Frontera $x_1 = 0$; banda $2/\|\mathbf{w}\| = 2$ (la distancia entre los puntos). Primal $\tfrac12\|\mathbf{w}\|^2 = 0.5 = W$ ✓.

2 · Gradiente de la cross-entropy

Un punto $\mathbf{x} = (1, 2)$, $y = 0$, con $\mathbf{w} = (1, 1)$, $b = -1$. Calcula $p$, la pérdida y $\nabla_\mathbf{w}\ell$. Da un paso con $\eta = 0.5$.

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$z = 1+2-1 = 2$, $p = \sigma(2) = 0.881$. $\ell = -\log(1-0.881) = 2.127$.

$\nabla_\mathbf{w}\ell = (p-y)\mathbf{x} = 0.881(1,2) = (0.881, 1.762)$; $\partial\ell/\partial b = 0.881$.

Paso: $\mathbf{w} = (1,1) - 0.5(0.881, 1.762) = (0.560, 0.119)$, $b = -1-0.44 = -1.44$. Nuevo $z = 0.560+0.238-1.44 = -0.642$, $p = 0.345$: ya lo clasifica bien.

3 · Descomposición sesgo–varianza con números

Para un punto $x$, la verdad es $f(x) = 10$ y el ruido $\sigma^2 = 4$. Cinco re-entrenamientos predicen 12, 13, 11, 12, 12. Calcula sesgo², varianza y error esperado.

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$\bar f = 60/5 = 12$. Sesgo² $= (12-10)^2 = 4$. Varianza $= \frac15(0+1+1+0+0) = 0.4$. Error esperado $= 4 + 0.4 + 4 = 8.4$. Domina el sesgo: el modelo subajusta en este punto.

4 · Poda: ruta completa

Verifica los tres quiebres de la ruta de los diez puntos: $2/15$, $16/105$, $3/14$.

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Costos $C_\alpha$: 4 hojas $4\alpha$; 3 hojas $\tfrac2{15}+3\alpha$; 2 hojas $\tfrac27+2\alpha$; 1 hoja $\tfrac12+\alpha$.

• 4 vs 3: $4\alpha = \tfrac2{15}+3\alpha \Rightarrow \alpha = \tfrac2{15}$.
• 3 vs 2: $\tfrac2{15}+3\alpha = \tfrac27+2\alpha \Rightarrow \alpha = \tfrac27-\tfrac2{15} = \tfrac{30-14}{105} = \tfrac{16}{105}$.
• 2 vs 1: $\tfrac27+2\alpha = \tfrac12+\alpha\Rightarrow\alpha = \tfrac12-\tfrac27 = \tfrac3{14}$.